f[r_] := ((G M m)/(r^2))

epot[h_] = 
      Assuming[r0 > 0  &&  h > 0, 
        Integrate[f[r], {r, r0, r0 + h}]]

consts = {G -> 6.67*^-11, M -> 5.975*^24, 
        r0 -> 6371000}

vorbit[h_] = 
      v  /.  Solve[((m (v^2))/(r0 + h)) == f[r0 + h], 
            v][[2]]

ekin[h_] := (m/2) vorbit[h]^2

eorbit[h_] := epot[h] + ekin[h]

Das Shuttle kann einen Orbit in Höhe h0 erreichen. Welche Höhe hmax hoch könnte es bei einem Flug senkrecht nach oben erreichen?

hmax[h0_] = 
      h  /.  Solve[eorbit[h0] == epot[h], h][[1]]

z.B. für h0=500 km:

hmax[500000]  /.  consts